题目

已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x，(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在［－1，1］上是增函数，求实数λ的取值范围． 答案：解析：此题考查综合应用函数的奇偶性和增减性解决解析式和最值问题. 解：(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则即∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x.故g(x)＝-x2+2x.(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0.当x≥1时，2x2-x+1≤0.此时不等式无解.当x＜1时，2x2-x+1≤0.∴-1≤x≤.因此，原不等式的解集为［-1, ］.(3)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1.①当λ=-1时，h(x)＝4x+1在［-1,1］上是增函数，∴λ=-1.②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=.(ⅰ)当λ＜-1时，≤-1，解得λ＜-1.(ⅱ)当λ＞-1时，≥1时，解得-1＜λ≤0.综上，λ≤0.

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