题目

为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间 内，将其按 ， ， ， ， ， 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm及以上的树苗为优质树苗． （1） 求图中a的值 （2） 已知抽取这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表： A试验区 B试验区 合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计 将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由； （3） 用样本估计总体， 若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的数学期望 ． 下面的临界值表仅供参考： P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.25 0.01 0.005 0.001 k0 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： ，其中 ． 答案： 根据直方图数据，有 2×(a+a+2a+0.2+0.2)=1 ，解得 a=0.025 ． 根据直方图可知，样本中优质树苗有 120×(0.10×2+0.025×2)=30 ，列联表如下： A试验区 B试验区 合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计 70 50 120 可得 K2=120(10×30−20×60)270×50×30×90=21621≈10.3<10.828 ． 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系． 由已知，这批树苗为优质树苗的概率为 14 ，且 X 服从二项分布 B(4，14) ，故数学期望 EX=4×14=1 ．

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