题目

在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 且短轴长为2. （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若直线 与椭圆 交于 ， 两点， ，直线 与直线 的斜率之积为 ，证明直线 过定点并求出该定点坐标. 答案： 解：由 {ca=222b=2a2=b2+c2 得 {a=2b=1c=1 ∴椭圆C的标准方程为 x22+y2=1 解：若直线 l 的斜率不存在，设 M(s,t) ，则 N(s,−t) ， 此时 kPM⋅kPN=t−1s×−t−1s=1−t2s2=12s2s2=12 ，与题设矛盾， 故直线 l 的斜率必存在. 设 l:y=kx+m ， M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，联立 {y=kx+mx22+y2=1 得： (2k2+1)x2+4mkx+2m2−2=0 ， Δ=8(2k2−m2+1)>0 ， ∴ x1+x2=−4mk2k2+1 ， x1x2=2m2−22k2+1 ∵ kPM⋅kPN=y1−1x1⋅y2−1x2=y1y2−(y1+y2)+1x1x2=k2x1x2+k(m−1)(x1+x2)+(m−1)2x1x2=16 代入 x1+x2=−4mk2k2+1 ， x1x2=2m2−22k2+1 整理得： m2−3m+2=0 ， 解得： m=2 或 m=1 （舍去），即直线过定点 (0,2)

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