题目

某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 （例如： 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1） 若每个元件正常工作的概率 ． （i）当 时，求控制系统中正常工作的元件个数 的分布列和期望； （ii）计算 ． （2） 已知设备升级前，单位时间的产量为 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 ，每件高端产品的利润是2元．请用 表示出设备升级后单位时间内的利润 （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润． 答案： （i）因为 k=2 ，所以控制系统中正常工作的元件个数 X 的可能取值为0，1，2，3； 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 p=23 ， 所以 X∼B(3，23) ， 所以 P(X=0)=C30(23)0(13)3=127 ， P(X=1)=C31(23)1(13)2=29 P(X=2)=C32(23)2(13)1=49 ， P(X=3)=C33(23)3(13)0=827 ， 所以控制系统中正常工作的元件个数 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 127 29 49 827 控制系统中正常工作的元件个数 X 的数学期望为 E(X)=3×23=2 ； （ii）由题意知： P3=C53(23)3(13)2+C54(23)4(13)1+C55(23)5(13)0 =80243+80243+32243=192243=6481 ； 升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 4a 0 设备运行概率 pk 1−pk 所以升级改造后单位时间内产量的期望为 4apk ； 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） apk 3apk 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为 y=2apk+3apk=5apk ，即 y=5apk ； 因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有 k+1 个元件正常工作，其概率为 p(1)=pk−C2k−1kpk(1−p)k−1 ； 第二类：原系统中恰好有 k 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为 p(2)=C2k−2kpk(1−p)k−1⋅[1−(1−p)2]=C2k−1kpk+1(1−p)k−1(2−p) ； 第三类：原系统中有 k−1 个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为 p(3)=C2k−1k−1pk−1(1−p)k⋅p2=C2k−1k−1pk+1(1−p)k ； 所以 pk+1=pk−C2k−1kpk(1−p)k−1+C2k−1kpk+1(1−p)k−1(2−p)+C2k−1k−1pk+1(1−p)k =pk+C2k−1kpk(1−p)k(2p−1) ， 即 pk+1−pk=C2k−1kpk(1−p)k(2p−1) ， 所以当 p>12 时， pk+1−pk>0 ， pk 单调递增， 即增加元件个数设备正常工作的概率变大， 当 p≤12 时， pk+1−pk≤0 ， 即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大， 又因为 y=5apk ， 所以当 p>12 时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润； 当 p≤12 时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

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