题目

双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为 ， 双曲余弦函数为 ， 已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为 ， 且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数，）．利用上述性质，解决以下问题： （1） 求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2） 证明：对任意实数 ， 为定值； （3） 已知 ， 记函数 ， 的最小值为 ， 求 ． 答案： 解：由性质③知f(x)+g(x)=ex，所以f(−x)+g(−x)=e−x，由性质②知，f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，所以−f(x)+g(x)=e−x，即{f(x)+g(x)=ex−f(x)+g(x)=e−x，解得f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2.因为函数y1=ex、y=−e−x均为R上的增函数，故函数f(x)为R上的增函数，合乎题意. 证明：由（1）可得：[f(x)]2−[g(x)]2=(ex−e−x2)2−(ex+e−x2)2=e2x+e−2x−24−e2x+e−2x+24=−1. 解：函数y=2m⋅g(2x)−4f(x)=m(e2x+e−2x)−2(ex−e−x)，设t=ex−e−x，由性质①，f(x)=ex−e−x2在R是增函数知，当x∈[0，ln2]时，t∈[0，32]，所以原函数即y=mt2−2t+2m，t∈[0，32]，设h(t)=mt2−2t+2m，t∈[0，32]，当m=0时，h(t)=−2t在[0，32]上单调递减，此时h(t)min=h(32)=−3．当m≠0时，函数h(t)的对称轴为t=1m，当m<0时，则1m<0，h(t)在[0，32]上单调递减，此时h(t)min=h(32)=17m4−3，当0<1m<32时，即m>23时，h(t)在(0，1m)上单调递减，在(1m，32)上单调递增，此时h(t)min=h(1m)=2m−1m．当1m≥32时，即0<m≤23时，h(t)在[0，32]上单调递减，此时h(t)min=h(32)=17m4−3．综上所述，φ(m)={17m4−3，m≤232m−1m，m>23.

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