题目

已知数列{an}，{bn}满足 ， ，其中n∈N+ ． （I）求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）设 ，求数列{cncn+2}的前n项和为Tn ． 答案：（Ⅰ）证明：∵ bn+1−bn=22an+1−1−22an−1 = 22(1−14an)−1−22an−1 = 4an2an−1−22an−1=2 ，∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又 b1=22a1−1=2 ，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n，∴ 2n=22an−1 ，解得 an=n+12n ．         …（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 cn=4×n+12nn+1=2n ，∴ cncn+2=2n×2n+2=2(1n−1n+2) ，∴数列{cncn+2}的前n项和为 Tn=2[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)] = 2[1+12−1n+1−1n+2]=3−4n+6(n+1)(n+2) ．

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