题目
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA⊥PC,底面ABCD为菱形,G为PC中点,E、F分别为AB、PB上一点,△BCE的面积为6,PB=4PF. (1)求证:AC⊥DF; (2)求证:EF∥平面BDG; (3)求三棱锥B﹣CEF的体积.
答案:【解答】(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC… ∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,… ∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,… 又DF⊂平面PBD,∴AC⊥DF… (2)证明:∵AB=4AE,PB=4PF,∴EF∥PA,… 设AC与BD的交点为O,连接OG,∵ABCD为菱形, ∴O为AC中点,又G为PC中点,∴OG∥PA,… ∴EF∥OG,又EF⊄平面BDG,OG⊂平面BDG,∴EF∥平面BDG… (3)解: 设PD=m,∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥CD,… 又, ∴, ∵PA⊥PC,∴2(m2+32)=16×6,∴m=4… ∵PB=4PF,∴F到平面ABCD的距离为… ∵△BCE的面积为, ∴…