题目

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，底面ABCD为菱形，G为PC中点，E、F分别为AB、PB上一点，△BCE的面积为6，PB=4PF． （1）求证：AC⊥DF； （2）求证：EF∥平面BDG； （3）求三棱锥B﹣CEF的体积． 答案：【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC… ∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，… ∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，… 又DF⊂平面PBD，∴AC⊥DF… （2）证明：∵AB=4AE，PB=4PF，∴EF∥PA，… 设AC与BD的交点为O，连接OG，∵ABCD为菱形， ∴O为AC中点，又G为PC中点，∴OG∥PA，… ∴EF∥OG，又EF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴EF∥平面BDG… （3）解： 设PD=m，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，… 又， ∴， ∵PA⊥PC，∴2（m2+32）=16×6，∴m=4… ∵PB=4PF，∴F到平面ABCD的距离为… ∵△BCE的面积为， ∴…

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