题目

定义域为 的函数 . （1） 判断 的奇偶性； （2） 判断函数 在 上的单调性； （3） 若不等式 在区间 上有解，求实数 的取值范围. 答案： 解： ∵f(x)=−3x+13x+1+3=1−3x3(1+3x) ，定义域为 R ，关于原点对称， 又 f(−x)=1−3−x3(1+3−x)=3x(1−3−x)3×3x×(1+3−x)=3x−13(3x+1)=−f(x) ， 因此，函数 f(x)=−3x+13x+1+3 为奇函数； 解： ∵f(x)=1−3x3(1+3x)=2−(1+3x)3(1+3x)=23(1+3x)−13 ， 任取 x1 、 x2∈R 且 x1<x2 ，则 f(x1)−f(x2)=[23(1+2x1)−13]−[23(1+2x2)−13] =23(1+2x1)−23(1+2x2)=2(2x2−2x1)3(1+2x1)(1+2x2) ， ∵x1<x2 ， ∴2x2−2x1>0 ， 1+2x1>0 ， 1+2x2>0 ， ∴f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) . 因此，函数 f(x)=−3x+13x+1+3 在 R 上为减函数； 解： ∵ 函数 y=f(x) 为 R 上的奇函数， 由 f(3x−1)+f(k⋅3x+1+3k)>0 可得 f(k⋅3x+1+3k)>−f(3x−1)=f(1−3x) ， 又由于函数 y=f(x) 为 R 上的减函数， ∴k⋅3x+1+3k<1−3x ， ∴k<1−3x3x+1+3=f(x) ， 由题意知，存在 x∈[0,+∞) ，使得 k<1−3x3x+1+3=f(x) 成立，则 k<f(x)max ， 因为函数 f(x)=−3x+13x+1+3 在 [0,+∞) 上为减函数，则 f(x)max=f(0)=0 ， ∴k<0 . 因此，实数 k 的取值范围是 (−∞,0) .

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