题目

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O： ， 点M，的坐标分别为 ， ， 且N为该平面内一点，以MN为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C． （1） 求曲线C的方程． （2） 已知P为曲线C上一点，过原点O作以P为圆心，为半径的圆的两条切线，分别交曲线C于A，B两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 答案： 解：设MN的中点为T，依题意，|OT|=3−12|MN|，又|OT|=12|M′N|，则|NM|+|NM′|=23>22=|MM′|，由椭圆定义知，点N的轨迹是以M′，M为左右焦点，长轴长为23的椭圆，而半焦距为2，则短半轴长b=(3)2−(2)2=1，所以曲线C的方程为x23+y2=1. 解：设圆心P(x0，y0)，则有x02+3y02=3，圆P：(x−x0)2+(y−y0)2=34，当x02=34，即点P(±32，±32)时，圆P与两坐标轴相切，则OA，OB分别为椭圆长半轴、短半轴，于是有|OA|2+|OB|2=3+1=4，当x02≠34时，设过点O的圆P的切线方程为y=kx，其中直线OA，OB的方程分别为y=k1x，y=k2x，由|kx0−y0|k2+1=32得：(4x02−3)k2−8x0y0k+4y02−3=0，则k1，k2是此方程的二根，有k1k2=4y02−34x02−3=−13，由{y=kxx2+3y2=3得x2=31+3k2，设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA2=31+3k12，xB2=31+3k12，|OA|2+|OB|2=(1+k12)xA2+(1+k22)xB2=3(1+k12)1+3k12+3(1+k22)1+3k22=2+2[2+3(k12+k22)]9k12k22+3(k12+k22)+1=2+2[2+3(k12+k22)]2+3(k12+k22)=4，综上得|OA|2+|OB|2=4，所以|OA|2+|OB|2是定值，此定值为4.

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