题目

甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分． （1） 分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率； （2） 预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多． 答案： 假设第一组图形中正方形的边长为2，则正方形的外接圆的半径为 2 ，内切圆半径为1，则甲得3分的概率为 2π−42π=1−2π ． 假设第二组图形中正方体的棱长为2，则正方体的外接球的半径为 12 4+4+4=3 ，内切球的半径为1，则乙得3分的概率为 43π(3)3−2343π(3)3=43π−843π=1−233π ． 甲得1分的概率为 π2π=12 ，甲得2分的概率为 4−π2π=2π−12 ，所以甲的平均得分为 1×12+2×(2π−12)+3×(1−2π)=52−2π ． 乙得1分的概率为 43π43π=39 ，甲得2分的概率为 8−43π43π=233π−39 ，所以乙的平均得分为 1×39+2×(233π−39)+3×(1−233π)=−233π+3−39 ． (52−2π)−(−233π+3−39)=−12+39−6−233π<0 ． 因此预估乙的得分多．

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