题目

已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE．（1）如图1，点D在AB边上，线段BD、BE、CD的数量关系为　　．（2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD、BE、CD的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，点D在点A左侧，BC＝，AD＝BE＝1，请直接写出线段EC的长．答案：【解析】（1）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图1中，连接DE． ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝90°， ∴DE2＝BD2＝BE2， ∵DE＝CD， ∴BE2+BD2＝2CD2．（2）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图2中，连接DE． ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD＝90°， ∴DE2＝BD2+BE2， ∵DE＝CD， ∴BE2+BD2＝2CD2．（3）如图3中，连接DE． ∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°， ∴AB＝BC＝2， ∴AD＝BE＝1， ∴BD＝3，由（2）可知：BD2+BE2＝2EC2， ∴9+1＝2EC2， ∴EC＝．

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