题目

[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）点 为曲线 上一点，若曲线 上存在两点 ， ，使得 ，求 的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）由题意得： C1:{x−1=10cosαy−4=10sinα  ⇒C1:(x−1)2+(y−4)2=10 x=ρcosθ ⇒C2:x=5 （Ⅱ）由（1） P(5,n) ，过 P 作曲线 C1 的两条切线，切点分别记为 M,N ∵ 曲线 C1 上存在两点 A,B ，使得 ∠APB=90∘ ∴∠MPN≥90∘     ⇒∠MPC1≥45∘ 即 sin∠MPC1=|MC1||PC1|≥22 ，即 |PC1|2≤2|MC1|2 ∴(5−1)2+(n−4)2≤2×10 ⇒n2−8n+12≤0 ⇒2≤n≤6

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