题目

如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方.将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周. （1） 如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC. ①求t的值； ②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由； （2） 若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由； （3） 在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）. 答案： 解：①∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°, ∵OP平分∠BOC， ∴∠COP＝ 12 ∠BOC＝75°, ∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°, ∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°, t＝15÷3＝5； ②是，理由如下： ∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°， ∴OQ平分∠AOC； 解：∵OC平分∠POQ， ∴∠COQ＝ 12 ∠POQ＝45°. 设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t， 由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45， 解得：t＝5， 当30+6t﹣3t＝225，也符合条件， 解得：t＝65， ∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ； 解：设经过t秒后OC平分∠POB， ∵OC平分∠POB， ∴∠BOC＝ 12 ∠BOP， ∵∠AOQ+∠BOP＝90°， ∴∠BOP＝90°﹣3t， 又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t， ∴180﹣30﹣6t＝ 12 （90﹣3t）， 解得t＝ 703 .

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