题目

已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； （2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标． 答案：【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3， ∴﹣＝3，解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4． 当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8， ∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． 答：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． （2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4， ∴点C的坐标为（0，4）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得 ，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4． 假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大， 设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4）， 则PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x， ∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC ＝×8×4+PD•OB ＝16+×8（﹣x2+2x） ＝﹣x2+8x+16 ＝﹣（x﹣4）2+32 ∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32 ∵0＜x＜8， ∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大． 答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32． （3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣）， ∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|， 又∵MN＝3， ∴|﹣+2m|＝3， 当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6， ∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2，m4＝4+2， ∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）． 答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．

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