题目

已知为实数，函数 ， ． （1） 当时，求函数的单调递增区间； （2） 若对任意 ， 恒成立，求的取值范围． 答案： 解：当a=2时，f(x)=x|x−2|−2={x2−2x−2，x≥2−x2+2x−2，x<2，当x≥2时，f(x)=(x−1)2−3，此时函数f(x)的单调递增区间为[2，+∞)；当x<2时，f(x)=−(x−1)2−1，此时函数f(x)的单调递增区间为(−∞，1].综上所述，当a=2时，函数f(x)的增区间为(−∞，1]和[2，+∞) 解：当x∈(0，1)时，由f(x)<0可得x|x−a|<a，即|x−a|<ax，所以，a>0，所以，−ax<a−x<ax，整理得{a>x2x+1a(1−1x)<x对任意的x∈(0，1)恒成立，因为x∈(0，1)，则1−1x=x−1x<0，所以，不等式a(1−1x)<x对任意的x∈(0，1)恒成立，只需考虑不等式a>x2x+1对任意的x∈(0，1)恒成立，当x∈(0，1)时，x2x+1=(x+1−1)2x+1=x+1+1x+1−2，令t=x+1∈(1，2)，g(t)=t+1t−2，由双勾函数的单调性可知，函数g(t)=t+1t−2在(1，2)上单调递增，当t∈(1，2)时，g(t)=t+1t−2∈(0，12)，因此，a≥12.

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