题目

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）． 解答下列问题： （1） 当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？ （2） 连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由； （3） 是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 答案： 解：∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ； ∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°， ∴∠EQC=45°；∴∠DEF=∠EQC；∴CE=CQ； 由题意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t； ∴AQ=8﹣t； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm； 则AP=10﹣2t； ∴10﹣2t=8﹣t； 解得：t=2； 答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上 解：如下图1，过P作PM⊥BE，交BE于M，∴∠BMP=90°；在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB= ACAB = PMBP ，∴ PM2t=810 ，∴PM= 85t ， ∵BC=6cm，CE=t， ∴BE=6﹣t， ∴y=S△ABC﹣S△BPE = 12 BC•AC﹣ 12 BE•PM= 12 ×6×8﹣ 12 (6﹣t)× 85t= 45t2−245t+24= 45(t−3)2+845 ，∵ a=45 ，∴抛物线开口向上；∴当t=3时，y最小= 845 ； 答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为 845 cm2 解：假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；如图2，过P作PN⊥AC，交AC于N∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；∵∠PAN=∠BAC， ∴△PAN∽△BAC， ∴ PNBC=APAB=ANAC ， ∴ PN6=10−2t10=AN8 ，∴PN=6﹣ 65 t ，AN=8﹣ 85 t，∵NQ=AQ﹣AN，∴NQ=8﹣t﹣（8﹣ 85 ）= 35 ， ∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上， ∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；∵∠FQC=∠PQN， ∴△QCF∽△QNP； ∴ PNPC=NQCQ ，即 6−65t9−t=35tt ； ∵0＜t＜4.5，∴ 6−65t9−t=35 ，解得：t=1；答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．

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