题目

已知数列 中， ， ，且 . （1） 设 ，证明数列 是常数列； （2） 求数列 的通项公式，并求数列 的的前 项和； （3） 设 ，求数列 的前2022项的和. 答案： 解： bn=an+1−2an ， ∴ bn+2−bn+1=an+2−2an+1−(an+1−2an)=an+2−3an+1+2an=0 ∴ {bn} 是公差为0的等差数列. ∴ bn 是常数列. 解：由（1）知： bn=b1=a2−2a1=0 ∴ an+1−2an=0 ，即 an+1=2an ∴ {an} 是以 a1=2 为首项，2为公比的等比数列. ∴ an=2n . 解：∵ c4n+1=(sin(4n+12π)+cos(4n+12π))⋅(4n+1)=4n+1 c4n+2=(sin(4n+22π)+cos(4n+22π))⋅(4n+2)=−(4n+2) c4n+3=(sin(4n+32π)+cos(4n+32π))⋅(4n+3)=−(4n+3) c4n+4=(sin(4n+42π)+cos(4n+42π))⋅(4n+3)=4n+4 ∴ c4n+1+c4n+2+c4n+3+c4n+4=0 ∴ S2022=c1+c2+⋅⋅⋅+c2022 =(c1+c2+c3+c4)+⋅⋅⋅+(c2017+c2018+c2019+c2020)+c2021+c2022 =c2021+c2022=2021−2022=−1 .

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