题目

如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）. （1） 判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？ （2） 小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？ 答案： 由题设，构建以EF的中点O为原点，过O平行于AE的直线为x轴，BE为y轴的直角坐标系，如下图示：∴A(−8，2)，B(0，−10)，E(0，2)，F(0，−2)，O(0，0)，要使新型飞行器在试飞过程中到F和到直线AE的距离始终相等，∴其轨迹为以AE为准线，F为焦点的抛物线，故轨迹方程为x2=−8y，∴O在轨迹上，即该飞行器经过线段EF的中点O，连接AF，交抛物线于P，而|FA|=64+16=45，∴|PA|=|FA|−|PF|=45−|PF|<10千米，故小镇A会受到该飞行器的噪音污染. 设飞行器P的坐标为(x，y)，∴|PB|=x2+(y+10)2=y2+12y+100=(y+6)2+64，又y≤0，∴当y=−6时，|PB|min=8千米，故小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为3级.

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