题目

如图 （1） 问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：① 的值为；②∠AMB的度数为． （2） 类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由； （3） 拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB= ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 答案： 【1】1【2】40° 解：类比探究：如图2， ACBD=3 ，∠AMB=90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴ ODOC＝tan30°＝33 ，同理得： OBOA＝tan30°＝33 ，∴ ODOC＝OBOA ，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴ ACBD＝OCOD=3  ，∠CAO=∠DBO，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90° 解：拓展延伸：①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB=90°， ACBD＝3 ，设BD=x，则AC= 3 x，Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x-2，Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB= 7 ，∴AB=2OB=2 7 ，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，( 3 x)2+(x−2)2＝(2 7 )2，x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，x1=3，x2=-2，∴AC=3 3 ；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°， ACBD＝3 ，设BD=x，则AC= 3 x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， ( 3 x)2+（x+2）2=(2 7 )2.x2+x-6=0，（x+3）（x-2）=0，x1=-3，x2=2，∴AC=2 3 ；.综上所述，AC的长为3 3 或2 3

查看本题答案和解析