题目

已知函数 ，（ ） （1） 若 ，求曲线 在 处的切线方程. （2） 对任意 ，总存在 ，使得 （其中 为 的导数）成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：若 a=2 ，则若 f(x)=2x3−6x2 ， f'(x)=6x2−12x   f'(1)=−6   f(1)=4所以曲线 f(x) 在 x=1 处的切线方程为 y=−6x+2 解：对任意 x1∈[0，2] 总存在 x2∈[0，1] ，使得 f(x1)≥f'(x2) 成立得 f(x1)min≥f'(x2)minf'(x)=6x(x−a)①当 a≤0 时 f(x) 在 [0，2] 单调递增所以 f(x) 在 [0，2] 上的最小值为0.f'(x) 在 [0，1] 上的最小值为0， f(x1)min≥f'(x2)min 成立②当 0<a<2 时 f(x) 在 [0，a] 上单调递减，在 [a，2] 单调递增，所以 f(x) 在 [0，2] 上的最小值为 f(a)=−a3 ， f'(x) 在 [0，1] 上的最小值为 f'(a2)=−32a2由 f(x1)min≥f'(x2)min 得 −a3≥−32a2 得 0<a≤32③当 a≥2 时 f(x) 在 [0，2] 单调递减所以 f(x) 在 [0，2] 上的最小值为 f(2)=16−12af'(x) 在 [0，1] 上的最小值为 f'(1)=6−6a由 f(x1)min≥f(x2)min 得 16−12a≥6−6a 无解综上实数 a 的取值范围为 a≤32

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