题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积． 答案：【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）【解析】（I）连结交于，连结，利用中位线可证明，即可说明平面；（II）由平面平面，底面为矩形可得：，根据勾股定理可得：，由此证明平面；（III）取的中点，连结，可证明平面，由于为 中点，则过点作平面的高等于，所以，即可求出三棱锥 的体积（I）连结交于，连结．因为底面是矩形，所以为中点．又因为为 中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（II） 因为底面为矩形，所以．又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面．因为平面，所以．因为，所以，即．因为，，平面，所以平面．（III））取的中点，连结，因为，是的中点，所以，且，因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，因为为 中点，所以．所以三棱锥C的体积为．

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