题目

如图,在三棱锥 中, , 底面 ， ， ， ，且 . （1） 若 为 上一点，且 ，证明：平面 平面 . （2） 求二面角 的余弦值. 答案： 证明：∵ PB⊥ 平面 ACD ， AC⊂ 平面 ACD∴ PB⊥AC .又 BE⊥AC ， BE∩BD=B ，∴ AC⊥ 平面 PBE .∵ AC⊂ 平面 PAC ，∴ 平面 PBE⊥ 平面 PAC . 解：解：在 ΔACP 中，由余弦定理得AP2=AC2+PC2−2AC⋅PC⋅cos∠ACP=15−2×52×210=13 ,∴ AP=13 ，由条件得 {AB2+BC2=10,BC2+PB2=5,AB2+PB2=13,  解得 {AB=3,BC=1,PB=2.∵ BQ// 平面 PAC ， BQ⊂ 平面 PAD ，平面 PAC∩ 平面 PAD=PA ，∴ BQ//PA ，∴ PQQD=ABBD=3 .   过 Q 作 QH//PB ，交 AD 于 H ，则 QH 为三棱锥 Q−ACD 的高，则 QH=14PB=12 .∵ AD=AB+BD=3+1=4 ，∴  VQ−ACD=13×12×12×4×1=13 .即三棱锥 Q−ACD 的体积为 13

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