题目

某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形 草坪如下图所示，已知： 米， 米，拟在这块草坪内铺设三条小路 、 和 ，要求点 是 的中点，点 在边 上，点 在边 时上，且 . （1） 设 ，试求 的周长 关于 的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2） 经核算，三条路每米铺设费用均为 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 答案： 解：由题意，在 RtΔBOE 中， OB=60 ， ∠B=π2 ， ∠BOE=α ， ∴OE=60cosα ， RtΔAOF 中， OA=60 ， ∠AFO=π2 ， ∴OF=60sinα ，又 ∠EOF=π2 ， ∴EF=OE2+OF2=(60cosα)2+(60sinα)2=60cosαsinα ， 所以 l=OE+OF+EF=60cosα+60sinα+60cosαsinα ，即 l=60(cosα+sinα+1)cosαsinα . 当点 F 在点 D 时，这时角 α 最小，求得此时 α=π6 ； 当点 E 在 C 点时，这时角 α 最大，求得此时 α=π3 . 故此函数的定义域为 [π6,π3] ； 解：由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求 ΔOEF 的周长 l 的最小值即可． 由（1）得 l=60(cosα+sinα+1)cosαsinα ， α∈[π6,π3] ， 设 t=sinα+cosα=2sin(α+π4) ， ∴sinα⋅cosα=t2−12 ， 则 l=60(cosα+sinα+1)cosαsinα=60(t+1)t2−12=120t−1 ， 由 α∈[π6,π3] ，得 5π12≤α+π4≤7π12 ， ∴3+12≤t≤2 ，则 3+12≤t−1≤2−1 ， 从而 2+1≤1t−1≤3+1 ，当 α=π4 ，即当 BE=60 时， lmin=120(2+1) ， 答：当 BE=AF=60 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 36000(2+1) 元．

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