题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC ， 且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ ， 过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M ． 设点P运动的时间为t（秒） （1） 用含t的代数式表示线段DM的长度； （2） 求当点Q落在BC边上时t的值； （3） 设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式； （4） 当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值． 答案： 解：如图1中， 在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°， ∴AB＝ AC2+BC2=162+122=20 ， ∵PQ∥AC， ∴∠A＝∠QPM， ∵∠C＝∠PMQ＝90°， ∴△ACB∽△PMQ， ∴ ACPM=BCMQ=ABPQ , ∴ 16PM=12MQ=205t , ∴PM＝4t，MQ＝3t， 当0＜t≤ 109 时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10． 当 109 ＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10． 解：如图2中， 当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC， ∴ PQAC=PBAB , ∴ 5t16=20−5t20 ， 解得t＝ 169 ， ∴当点Q落在BC边上时t的值为 169 s． 解：如图3﹣1中，当 109 ＜t≤ 8245 时，重叠部分是△DMK，S＝ 12 ×DM×MK＝ 12 ×（9t﹣10）× 34 （9t﹣10）＝ 2438 t2﹣ 1352 t+ 752 ． 如图3﹣2中，当 209 ≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝ 12 •PK•BK＝ 12 × 45 （20﹣5t）• 35 （20﹣5t）＝6t2﹣48t+96． 解：如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K． ∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG， ∴△QGK≌△QGM（AAS）， ∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t， ∴PG＝ 54 PK＝ 52 t， ∵PQ∥AC， ∴ PQAC=PGGA ， ∴ 5t16=52t5t+52t ， ∴t＝ 1615 ． 如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G． ∵ 12 •AC•BC＝ 12 •AB•CG， ∴CG＝ AC·BCAB=16×1220=485 ，AG＝ AC2−CG2=162−(485)2=645 ， ∵∠CMG＝∠GCM＝45°， ∴CG＝GM＝ 485 ， ∴AM＝9t＝ 645+485 ， 解得t＝ 11245 ， 综上所述，满足条件的t的值为 1615 s或 11245 s．

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