题目

如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G． （1） 求证：△DCF≌△ADG． （2） 若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值． 答案： 证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠CFG=90°。∵AG∥CF，∴∠AGD=∠CFG=90°。∴∠AGD=∠CFD。又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE=90°，∴∠ADG=∠DCF。∵在△DCF和△ADG中，∠AGD=∠CFD，∠ADG=∠DCF，AD=DC，∴△DCF≌△ADG（AAS）。 解：设正方形ABCD的边长为2a，∵点E是AB的中点，∴AE= 12 ×2a=a。在Rt△ADE中， DE=AD2+AE2=(2a)2+a2=5a ，∴ sin∠ADG=AEDE=a5a=55 。∵∠ADG=∠DCF=α，∴sinα= 55

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