题目

（问题情境） 如图1，在 中， ，D是 边上一点，过点D作 交 于点E，以D为顶点， 为一边作 ，使其另一边与 边交于点F， 与 交于点G． （1） 求证：G是 的中点； （2） M，N分别是 ， 的中点，连接 ，求证：点G在线段 上； （3） （迁移拓展） 如图2，已知D是长为4的线段 上的动点（D不与A，B重合），分别以 ， 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，G为 的中点，连接 ． ①请直接写出 的最小值；（不要求写解题过程） ②请写出解题过程中需要的辅助线作法，并在图2中画出相应的辅助线． 答案： 解：∵ AC=BC ， ∴ ∠A=∠B ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠B ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180° ， ∠ADE+∠EDF+∠FDB=180° ， ∠EDF=∠ACB ， ∴ ∠FDB=∠A ． ∴ DF∥AC ． 又∵ DE∥BC ， ∴四边形 CEDF 是平行四边形 ∵点G是平行四边形 CEDF 对角线 CD ， EF 的交点 ∴ EG=GF ，即G是 EF 的中点 解：连接 MG ∵M，N是 AC ， BC 的中点 ∴ MN 是 △ABC 的中位线 ∴ MN∥AB ∵M是 AC 的中点，由（1）知G是 CD 的中点， ∴ MG 是 △ACD 的中位线． ∴ MG∥AB ． ∴M，N，G在同一直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即点G在 MN 上． 解：① DG=3 ②如图所示，分别延长 AE ， BF 交于点C，连接 CD ． ∵ △ADE 和 △MDF 是等边三角形． ∴ ∠A=∠DPB=∠B=∠CPA=60° ∴ AC∥DF ，∴ BC∥DE ， △ABC 是等边三角形． ∴四边形 CEDF 是平行四边形， AB=BC=AC ． ∴ CD 与 EF 互相平分． ∵G为 EF 的中点， ∴G是 CD 与 EF 的交点，即G在 CD 上． ∴G是 CD 为中点，∴ DG=12CD ． 当 GD⊥AB 时， CD 的长最短 ∵ △ABC 是等边三角形， CD⊥AB ． ∴ AD=BD=12AB=2 ． 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 CD=42−22=23 ． ∴ DG=3 ．

查看本题答案和解析