题目

已知函数 . （1） 判断 的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由； （2） 设 ，试讨论 的零点个数情况. 答案： 解：设 h(x)=f(x)−b=1x−a+1x+a     ∴h(x) 定义域为： {x|x≠±a} ∵h(−x)=1−x−a+1a−x=−(1x+a+1x−a)=−h(x) ∴h(x) 为奇函数，图象关于 (0,0) 对称 ∴y=f(x) 的图象是中心对称图形，对称中心为： (0,b) 解：令 y=f(x)−g(x)=1x−a+1x+a−bx=0 ∴x[2(x−a)(x+a)−b]=0 ，可知 x=0 为其中一个解，即 x=0 为一个零点 只需讨论 2x2−a2=b 的解的个数即可 ①当 b=0 时， 2x2−a2=b 无解 ∴y=f(x)−g(x) 有且仅有 x=0 一个零点 ②当 b>0 时 ， x2=a2+2b>0     ∴x=±a2+2b 为方程 2x2−a2=b 的解 ∴y=f(x)−g(x) 有 x=±a2+2b ， x=0 共 3 个零点 ③当 b<0 时， x2=a2+2b=2+a2bb （i）若 a2b+2<0 ，即 b<−2a2 时， 2+a2bb>0 ∴x=±a2+2b 为方程 2x2−a2=b 的解 ∴y=f(x)−g(x) 有 x=±a2+2b ， x=0 共 3 个零点 （ii）若 a2b+2=0 ，即 b=−2a2 时， 2x2−a2=b 的解为： x=0 ∴y=f(x)−g(x) 有且仅有 x=0 一个零点 （iii）若 a2b+2>0 ，即 −2a2<b<0 时， 2+a2bb<0 ，方程 2x2−a2=b 无解 ∴y=f(x)−g(x) 有且仅有 x=0 一个零点 综上所述：当 b>0 或 b<−2a2 时，有 3 个零点；当 −2a2≤b≤0 时，有 1 个零点

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