题目

如图 （1） （操作发现） 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将 绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点 ，点C的对应点为点 ．连接 ； ②在①中所画图形中， ＝°． （2） （问题解决） 如图2，在 中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数． （3） （拓展延伸） 如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）． 答案： 【1】解：①如图，△AB′C′即为所求． ；45 解：如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H． ∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°， ∴∠B＝∠EAH， ∵AB＝AE， ∴△ABC≌△EAH（AAS）， ∴BC＝AH，EH＝AC， ∵BC＝CD， ∴CD＝AH， ∴DH＝AC＝EH， ∴∠EDH＝45°， ∴∠ADE＝135°． 解：如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC， ∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠BAC＝∠DAG， ∵AB＝AC，AD＝AG， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD， ∴△ABC∽△ADG， ∵AD＝kAB， ∴DG＝kBC＝2k， ∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC， ∴∠ADG+∠ADC＝90°， ∴∠GDC＝90°， ∴CG＝ DG2+CD2 ＝ 4k2+9 ． ∴BD＝CG＝ 4k2+9 ．

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