题目

如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 经过 两点且交于 轴于点 ：点 为抛物线上一点，且在点 与点 之间，点 的横坐标为 . （1） 求点 的坐标； （2） 连接 、 ，设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，不要求写出自变量 的取值范围； （3） 在（2）的条件下，点 是y轴正半轴上的一点，连接 、 ，且 ，连接 ，交线段 于点 ，当 时，求点 的坐标. 答案： 解：在 y=−x−3 中， 令 y=0 ，则 x=−3 ， 令 x=0 ，则 y=−3 ， ∴点A为（ −3 ，0），点B为（0， −3 ）， 把点A、B代入 y=43x2+bx+c ， ∴ {43×(−3)2−3b+c=0c=−3 ，解得： {b=3c=−3 ， ∴ y=43x2+3x−3 ， 令 y=0 ，则 43x2+3x−3=0 ， ∴ x1=−3 ， x2=34 ， ∴点C为（ 34 ，0） 解：∵ y=43x2+3x−3 ，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m， ∴点P为（m， 43m2+3m−3 ）， 过点P作x轴的垂线，交AB于点D，如图： ∴点D的横坐标为m， ∵直线AB为 y=−x−3 ，点D在AB上， ∴点D为（m， −m−3 ）， ∴线段PD的长度为： PD=−m−3−(43m2+3m−3)=−43m2−4m ， ∵ S=12PD•OA ， OA=3 ∴ S=12×(−43m2−4m)×3=−2m2−6m 解：根据题意，如图： ∵由点Q在y的正半轴上，且 ∠AQC=90° ， ∴ ∠AQO+∠CQO=90° ， ∵ ∠AQO+∠QAO=90° ， ∴ ∠CQO=∠QAO ， ∵ ∠AOQ=∠COQ=90° ， ∴△AOQ∽△QOC， ∴ AOQO=QOCO ，即 3QO=QO34 ， ∴ QO=32 ， ∴点Q的坐标为（0， 32 ）， ∵点P为（m， 43m2+3m−3 ）， QK=3PK ， ∴点K的坐标为：（ 34m ， m2+94m−158 ）， ∵点K在 y=−x−3 图像上，则 −34m−3=m2+94m−158 ， 整理得： m2+3m+98=0 ， 解得： m=−6±324 ， ∴当 m=−6+324 时， y=43m2+3m−3=−12−324 ； 当 m=−6−324 时， y=43m2+3m−3=−12+324 ； ∴点P的坐标为 (−6+324,−12−324) 或 (−6−324,−12+324)

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