题目

如图，二次函数 的图象经过点 和点 ，点 （1） 求二次函数 的解析式； （2） 在图①中仅用尺规作图（保留作图痕迹，不要求写作法）在 轴上确定点 ，使∠ =∠ ，直接写出点 的坐标； （3） 在（2）的条件下，如图②，过点P的直线 交二次函数 的图象于D ，E ，且 ，过点D、E作 轴的垂线段，垂足分别是F、G，连接PF、PG， ①求证：无论 为何值，总有∠FPO=∠PGO； ②当PF+PG取最小值时，求点O到直线 的距离． 答案： 解：将点 A(−1,54) 和点 C(−4,5) 代入二次函数 y=ax2+c ， 得 {a+c=5416a+c=5 ，解得： {a=14c=1 所以二次函数的解析式为 y=14x2+1 解：如图，点P即为所求． 点P坐标为（0，2） 解：①证明：将点P（0，2）代入直线 y=kx+b ，得 b=2联立 {y=14x2+1y=kx+2 ，化简得： x2−4kx−4=0 ，解得 x=2k±2k2+1∵ x1<0<x2  ∴ x1=2k−2k2+1 ， x2=2k+2k2+1  ∴OF= -x1=-2k+2k2+1 ，OG= x2=2k+2k2+1∴ OF×OG=4 = OP2∴ OFOP=OPOG ，即△FOP∽△POG∴∠FPO=∠PGO②∵ x1+x2=4k ， x1x2=−4∴ (PF+PG)2=PF2+2×PF×PG+PG2=x12+4+2x12+4×x22+4+x22+4= (x1+x2)2−2x1x2+8+2(x1x2)2+4(x1+x2)2−8x1x2+16= 16k2+16+16k2+1不妨令 t=k2+1 ， t≥1∴PF+PG=4 t2+t=(t+12)2−14∴当 k=0 时， t=1 ，此时PF+PG取最小值 42∴点O到直线 y=kx+b 的距离即OP=2

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