题目

已知：直线 AB∥CD， 一块三角板 EFH，其中∠EFH=90° ， ∠EHF=60°. （1） 如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2 =2∠1，求∠1的度数； （2） 如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE，∠MHE的数量关系； （3） 如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E 恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在 线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q ∠HFT=15°，且 ∠EFT=∠ETF，求证：PQ//FH. 答案： 解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠GHC， 又∵∠2=2∠1， ∴∠2=2∠GHC， ∵∠2+∠EHF+∠GHC=180°，∠EHF=60°， ∴3∠GHC+60°=180°， ∴∠GHC=40°， ∴∠1=40°； 解：∵AB∥CD， ∴∠AFE=∠CME， ∵∠CME=180°-∠EMH，∠EMH=180°-（∠E+∠MHE）， ∴∠CME=∠E+∠MHE， ∴∠AFE=∠E+∠MHE； 证明：∵AB∥CD，∠EFT=∠ETF， ∴∠BFT=∠ETF=∠EFT， ∴∠EFB=2∠BFT=2∠EFT， 设∠EFB=2a，则∠BFT=∠EFT=a， ∴∠BFH=2a-90°， ∴∠HFT=∠BFT-∠BFH=90°-a， ∵∠Q-∠HFT=15°， ∴∠Q=15°+90°-a， ∵AB∥CD， ∴∠EFB=∠CEF=2a， ∴∠CEH=∠CEF+∠FEH=2a+30°， ∵EQ平分∠CEH， ∴∠QEH=12∠CEH=a+15°， ∵∠Q+∠QEP+∠QPE=180°， ∴15°+90°-a+a+15°+∠QPE=180°， ∴∠QPE=60°， ∵∠EHF=60°， ∴∠QPE=∠H， ∴PQ∥FH.

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