题目

如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA.延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED= . （1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长. 答案：证明：DE2＝DB·DA， ∴ DEDA=DBDE ，又∵∠D＝∠D， ∴△DEB∽△DAE 解：∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点， ∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，又∵AE=EF，BF=10， ∴AB=BF=10， ∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED= 45 ， ∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED= 45 ，在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝ 45 ，得AE=ABcos∠EAD=8， ∴ BE=AB2−AE2=6 ， ∵△DEB ∽△DAE， ∴ DEDA=DBDE=EBAE=68=34 ， ∵DB=DA-AB=DA-10， ∴ {DEDA=34DA−10DE=34 ，解得 {DA=1607DE=1207 ，经检验， {DA=1607DE=1207 是 {DEDA=34DA−10DE=34 的解， ∴DA= 1607 ，DE= 1207 解：连接FM， ∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°， ∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径， ∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上， ∴点M在以BF为直径的圆上， ∴FM⊥AB，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝ AMAF 得 AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8× 45 ＝ 645 ， ∴MD＝DA－AM＝ 1607−645=35235

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