题目

如图，矩形ABCD中，已知AB＝6.BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'，延长AB' 交直线CD于点M. （1）如图1，若点E为线段BC的中点，求证：AM＝FM；（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若，求线段AM的长. 答案：证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠F=∠BAF，由折叠可知：∠BAF=∠MAF， ∴∠F=∠MAF， ∴AM=FM. 解：由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC=CF，在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8， ∴ AC=AB2+BC2=62+82=10 ∴CF=AC=10， ∵AB∥CF， ∴△ABE∽△FCE， ∴ BECE=ABCF=610=35 解：①当点E在线段BC上时，如图，A B'的延长线交CD于点M，由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE， ∴ ABCF=BECE=32 ，即 6CF=32 ∴CF=4，由（1）可知AM=FM. 设DM=x，则MC=6-x，则AM=FM=10-x，在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，即（10-x）2=82+x2，解得：x= 95 则AM=10-x=10- 95 = 415 ②当点E在BC的延长线上时，如图，由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE ∴ ABCF=BECE=32 ，即 6CF=32 ∴CF=4，则DF=6-4=2，设DM=x，则AM=FM=2+x，在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，即（2+x）2=82+x2，解得：x=15，则AM=2+x=17 综上所述：AM的长为 415 或17.

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