题目

设函数f（x）=sinx，x R。 （1） 已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值 （2） 求函数y=[f（x+） ]2+[f（x+ ）]2的值域 答案： 因为 f(x+θ)=sin(x+θ) 是偶函数，所以，对任意实数x都有 sin(x+θ)=sin(−x+θ) ， 即 sinxcosθ+cosxsinθ=−sinxcosθ+cosxsinθ ， 故 2sinxcosθ=0 ， 所以 cosθ=0 ． 又 θ∈[0,2π) ，因此 θ=π2 或 3π2 ． y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2=sin2(x+π12)+sin2(x+π4) =1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2=1−12(32cos2x−32sin2x) =1−32cos(2x+π3) ． 因此，函数的值域是 [1−32,1+32] ．

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