题目

已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． （1） 当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标； （2） 在1的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3） 当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积． 答案： 【解答】解：把A（4，2）代入y=kx，得k=4×2=8．∴反比例函数的解析式为y=8x．解方程组y=-2x+10y=8x，得x=1y=8或x=4y=2，∴点B的坐标为（1，8）； ①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHEH=MHAH，∴21=MH2，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y=mx则有4m=2，解得m=12，∴直线AP的解析式为y=12x，解方程组y=12xy=8x，得x=4y=2或x=-4y=-2，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，-12）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，-12）； 过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴CDBD=CTBS．∵BCBD=52，∴CTBS=CDBD=32．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴ab=32，即b=23a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数y=kx的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=23a（﹣2×23a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=23（﹣2×23a+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．设直线BC的解析式为y=px+q，则有2p+q=6-3p+q=-4，解得：p=2q=2，∴直线BC的解析式为y=2x+2．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=12OD•CT+12OD•BS=12×2×3+12×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．

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