题目

如图（1） 将三角板ABC与∠DAE摆放在一起，射线AE与AC重合，射线AD在三角形ABC外部，其中∠ACB＝30°，∠B＝60°，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.固定三角板ABC，将∠DAE绕点A按顺时针方向旋转，如图（2），记旋转角∠CAE＝α.     （1） 当α为60°时，在备用图（1）中画出图形，并判断AE与BC的位置关系，并说明理由； （2） 在旋转过程中，当0°＜α＜180°，∠DAE的一边与BC的平行时，求旋转角α的值； （3） 在旋转过程中，当0°＜α≤90°时，探究∠CAD与∠BAE之间的关系. （温馨提示：对于任意△ABC，都有∠A＋∠B＋∠C＝180°） 答案： 解：当 α=60° 时， AE⊥BC ， 如图（1），设 AE 与 BC 相交于点 F ， ∵ ∠CAE=α=60° ， ∠ACB=30° ， ∴ ∠AFC=90° ， ∴ AE⊥BC ； 解：①当 AD//BC 时，如图（2）， ∠DAC=∠C=30° ， ∵ ∠DAE=45° ， ∴ ∠CAE=α=15° ； ②当 AE//BC ，如图（3）， ∠B=∠EAB=60° ， ∴ ∠CAE=α=∠BAC+∠EAB=150° 解：①如下图，当 α≤45° 时， α+∠BAE=90° ， α+∠CAD=45° ， ∴ ∠BAE−∠CAD=45° ； ②如图（1）当 45°<α≤90° 时， ∵ ∠DAE+∠CAD+∠BAE=90° ， ∠DAE=45° ， ∴ ∠CAD+∠BAE=45° .

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