题目

已知点M（ ， ）在椭圆G： + =1（a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为 ． （1） 求椭圆G的方程； （2） 若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底做等腰三角形，顶点为P（﹣3，2），求△PAB的面积． 答案： 解：∵点M（ 6 ， 2 ）在椭圆G： x2a2 + y2b2 =1（a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为 63 ． ∴ 6a2+2b2=1 ， ca=63 ，又a2=b2+c2，解得a2=12，b2=4．∴椭圆G的方程为 x212+y24 =1 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点N（m，n），直线AB的方程为：y=x+t． 联立 {y=x+tx2+3y2=12 ，化为4x2+6tx+3t2﹣12=0，∴x1+x2=﹣ 3t2 =2m，x1x2= 3t2−124 ．解得m=﹣ 3t4 ，∴n= t4 ．∴kPN=﹣1= t4−2−3t4+3 ，解得t=2．∴直线AB的方程为：y=x+2．∴点P到直线AB的距离d= |−3−2+2|2 = 32 ．|AB|= 2[(x1+x2)2−4x1x2] = 2[(−3)2−4×0] =3 2 ．∴S△APB= 12d·|AB| = 12×32×32 = 92

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