题目

已知斜率为1的直线与抛物线 交于 两点， 中点的横坐标为2. （1） 求抛物线 的方程； （2） 设直线 交 轴于点 ，交抛物线 于点 ， 关于点 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 .除 以外，直线 与 是否有其它公共点？请说明理由. 答案： 解：设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， AB 直线的斜率为 l ，又因为 A ， B 都在曲线 C 上， 所以 y1=x122p   ①        y2=x222p  ② ‚-得 y2−y1=x22−x122p=(x1+x2)(x2−x1)2p ， 由已知条件 x1+x2=4 得 y2−y1x2−x1=2p=1 ，得 p=2 ， 所以抛物线 C 的方程是 x2=4y  解：由题意，可知点 M,P,N 的坐标分别为 M(t,0) ， P(t,t24) ， N(t,t22) ， 从而可得直线 ON 的方程为 y=t2x ，联立方程 {y=t2xx2=4y  ， 解得 {x=2ty=t2  ， {x=0y=0  ．依题意，点 H 的坐标为 (2t,t2) ，由于 M(t,0) ， H(2t,t2) ，可得直线 MH 的方程为 y=t(x−t) ， 联立方程 {y=t(x−t)x2=4y  ，整理得 x2−4tx+4t2=0 ， 则 Δ=16t2−16t2=0 ，从而可知 MH 和 C 只有一个公共点 H

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