题目

已知函数 ， ． （1） 求函数的最小正周期和单调递减区间； （2） 求函数在上的最大值及相应自变量的值． 答案： 解：因为f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)由题意得：T=2π|ω|=2π2=π，即最小正周期为π．由π2+2kπ⩽2x+π4⩽3π2+2kπ，k∈Z解得：π8+kπ⩽x⩽5π8+kπ，k∈Z故函数f(x)=2sin(2x+π4)的单调递减区间为[π8+kπ，5π8+kπ](k∈Z)； 解：由x∈[0，π2]得2x+π4∈[π4，5π4]，∴sin(2x+π4)∈[−22，1]∴f(x)在区间[0，π2]上的最大值为2．当sin(2x+π4)=1，即2x+π4=π2，所以x=π8时f(x)max=2

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