题目

19.已知k>0,直线l1:y＝kx,l2:y＝－kx.19题图   (Ⅰ)证明:到l1、l2的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆；　 (Ⅱ)求到l1、l2的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹. 答案：19.本小题主要考查直线、圆、椭圆的方程和性质,曲线和方程的关系,轨 迹的概念和求法.利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综 合运用知识的能力. 解: (Ⅰ)设点P(x,y)为动点,则　　＋＝a, 整理得＋＝1. 因此,当k＝1时,动点的轨迹为圆；当k≠1时,动点的轨迹为椭圆.　 (Ⅱ)设点P(x,y)为动点,则　 |y－kx|+|y+kx|＝c.   当y≥k|x|时,y－kx+y+kx＝c,即y＝c;  当y≤－k|x|时,kx－y－y－kx＝c,即y＝－c; 当－k|x|<y<k|x|,x>0时,kx－y+y+kx＝c,即x＝c; 当－k|x|<y<k|x|,x<0时,y－kx－y－kx＝c,即x＝－c.  综上,动点的轨迹为矩形.

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