题目

已知圆和抛物线 ， 是圆上一点，过作抛物线的两条切线 ， 分别为切点. （1） 当时，求切线的方程； （2） 求证：存在两个 ， 使得面积等于. 答案： 解：由题意，圆C1：(x−1)2+(y+1)2=14和抛物线C2：x2=4y， 当x0=12时，可得y0=−1， 设切线方程为y+1=k(x−12)，代入x2=4y，可得x2−4kx+4=0， 则Δ=16k2−8k−16=0，解得k=1±174， 所以切线PA，PB的方程为y+1=1±174(x−12). 证明：因为P(x0，y0)是圆C1上一点，所以C1：(x−1)2+(y+1)2=14， 设直线PA方程为y−y0=k1(x−x0)，代入x2=4y， 整理得x2−4k1x−4(y0−k1x0)=0，则Δ=16k12+16(y0−k1x0)=0， 即k12−k1x0+y0=0， 同理，直线PB方程为y−y0=k2(x−x0)，则有k22−k2x0+y0=0， 可得k1，k2时方程k2−kx0+y0=0的两个实数根， 所以k1+k2=x0，k1k2=y0 因为PA与抛物线相切，则x2−4k1x−4(y0−k1x0)=0中，xA+xA=4k1， 则xA=2k1，所以A(2k1，k12)，同理B(2k2，k22)，所以kAB=k12−k222k1−2k2=k1+k22， 直线AB 方程为y−k12=k1+k22(x−2k1)，即y−k12=k1+k22x−k1k2， 所以y=x02x−y0， 则|AB|=1+x024|2k1−2k2|=4+x02⋅(k1+k2)2−4k1k2=4+x02⋅x02+4y0， 又由P(x0，y0)到直线AB的距离d=|x02−4y0|4+x02， 所以SΔAPB=12|AB|⋅d=12(x02−4y0)3=332， 所以x02−4y0=3，与(x0−1)2+(y0+1)2=14， 联立得(x0−1)(x03+x02+19x0−13)=0，所以x0=1或x03+x02+19x0−13=0， 设f(x0)=x03+x02+19x0−13，显然f(12)<0，f(1)>0，f(32)>0， 设g(x)=x3+x2+19x−13，可得g′(x)=3x2+2x+19 当x∈[12，32]，可得g′(x)>0，所以g(x)单调递增， 即f(x0)在[12，32]上递增，所以f(x0)=x03+x02+19x0−13在(12，1)上有唯一零点 所以存在两个x0，使得△PAB面积等于332.

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