题目

已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由． 答案：(1) (－∞，0]．(2) 存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞). 【解析】 【分析】 (1)求出导函数，由题f′(x)≥0在R上恒成立，然后参变分离求解a的取值即可； (2) 假设存在实数a，由题意易知f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，再次参变分离可的结果. 【详解】(1)f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在R上增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 即3x2－a≥0在R上恒成立． 即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0. 当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意． 所以a的取值范围是(－∞，0]． (2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减， 则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2， 又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3. 当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意， 所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)

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