题目

如图，正三棱柱中，D是的中点，. （1） 求点C到平面的距离； （2） 试判断与平面的位置关系，并证明你的结论. 答案： 解：正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，AB=BB1=2所以CC1=2，CD=1，AD=4−1=3正三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥BC所以C1D=CC12+CD2=4+1=5又因为正三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面CBB1C1⊥平面ABC且交线为BC且平面ABC中，AD⊥BC所以AD⊥平面CBB1C1又C1D⊂平面CBB1C1所以AD⊥C1D设点C到平面AC1D的距离为h在三棱锥C−AC1D中，VC−AC1D=VC1−ACD即13⋅S△AC1D⋅h=13⋅S△ACD⋅CC113×12×3×5×h=13×12×34×4×2h=255所以点C到平面AC1D的距离为255. 解：A1B与平面AC1D的位置，证明如下：连接CA1交AC1于点E，连接DE，如下图所示，因为正三棱柱的侧面为矩形所以E为A1C的中点又因为D为CB中点所以DE为△A1BC的中位线所以A1B//DE又因为DE⊂平面AC1D，且A1B⊄平面AC1D所以A1B//平面AC1D

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