题目

已知抛物线 ，其中 . （1） 直接写出关于 的一元二次方程 的两个根； （2） 试判断：抛物线 的顶点 在第几象限内； （3） 过点A的直线y=x+m与抛物线 相交于另一点B,抛物线 的对称轴与x轴相交于C.试问：在抛物线上是否存在一点D，使 ？若存在，求抛物线的表达式，若不存在，说明理由。 答案： 解：∵抛物线y=ax2+bx+c，a-b+c=0，则一根为x=－1， ∵2a+b＝0，b=-2a，则对称轴x=﹣ b2a =1，∴另一根为x=3 解：由a-b+c=0， b=-2a得c=﹣3a ，抛物线为：y=ax2-2ax-3a． ∵b＞0，c＞0，∴a＜0    顶点坐标为：（1，－4a），∵－4a＞0，则顶点A（1，－4a）在第一象限 解：∵直线y=x+m过顶点A（1，﹣4a）， ∴m=－1﹣4a， ∴直线解析式为y=x－1﹣4a， 联立： {y=x−1−4ay=ax2−2ax−3a    解得： {x1=1y1=−4a  ， {x2=a+1y2=−3a  这里（1，﹣4a）为顶点A，（a+1，﹣3a）为点B坐标． 由 SΔABC=SΔADC 知：点B与点D关于对称轴x=1对称，∴D（1－a， ﹣3a）． ∵D在抛物线  y=ax2-2ax-3a上，∴﹣3a＝a（1-a）2-2a（1-a）-3a． a3-a=0，a=0，1，－1， 由a＜0得，a=－1，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3．

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