题目

定义：若函数 对任意的 ，都有 成立，则称 为 上的“淡泊”函数. （1） 判断 是否为 上的“淡泊”函数，说明理由； （2） 是否存在实数 ，使 为 上的“淡泊”函数，若存在，求出 的取值范围；不存在，说明理由； （3） 设 是 上的“淡泊”函数（其中 不是常值函数），且 ，若对任意的 ，都有 成立，求 的最小值. 答案： 解：任取x1，x2∈[﹣1，1]，可得|f（x1）﹣f（x2）| ＝|（ 14x12+12x1 ）﹣（ 14x22+12x2 ）| ＝| 14 （x1+x2）（x1﹣x2） +12 （x1﹣x2）| ＝|x1﹣x2|| 14 （x1+x2） +12 | ∵x1，x2∈[﹣1，1]，∴ 14 （x1+x2）∈[ −12 ， 12 ]， ∴ 14 （x1+x2） +12 |∈[0，1]，即| 14 （x1+x2） +12 |≤1， ∴|x1﹣x2|| 14 （x1+x2） +12 |≤|x1﹣x2| ∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2| ∴函数 limn→∞2bn−1bn+2={−12,0<k<113,k=12,k>1 在[﹣1，1]上是“淡泊”函数； 解：假设存在k∈R，使得 f(x)=kx+2 在[﹣1，+∞）上为“淡泊”函数， 则满足对任意x1，x2∈[﹣1，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立， 故| kx1+2−kx2+2 |＝|k|| x2−x1(x1+2)(x2+2) |≤|x1﹣x2|， ∴|k|≤|（x1+2）（x2+2）|， ∵x1，x2∈[﹣1，+∞），∴（x1+2）（x2+2）＞1， ∴|k|≤1，解得﹣1≤k≤1； 解：不妨令0＜x1≤x2＜1，由“淡泊”函数性质，有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立， 若x2﹣x1 ≤12 ，则|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2| ≤12 ； 若x2﹣x1 >12 ，|f（x1）﹣f（x2）|＝|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）| ≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|＝1﹣x2+x1＝1﹣（x2﹣x1） <12 ， 综上，对任意0＜x1≤x2＜1，|f（x1）﹣f（x2）| ≤12 恒成立， 而 |f(x1)−f(x2)|≤a 对任意的 x1, x2∈[0,1] ，都成立，则 a≥ |f(x1)−f(x2)|max ∴ a≥12 ,即 a 的最小值为 12 ．

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