题目

已知函数 . （1） 若 是定义在 上的偶函数，求实数 的值； （2） 在（1）的条件下，若 ，求函数 的零点. 答案： ∵ f(x) 是定义在 R 上的偶函数. ∴ f(−1)=f(1) ，即 log254−a=log25+a ， 故 a=log254−log252=log2142=−1 . 函数 f(x)=log2(4x+1)−x ， 因为 f(−x)=log2(4−x+1)+x=log2(4x+1)−x=f(x) . 所以 a=−1 满足题意. 依题意，令 g(x)=log2(22x+1)−x−2=log2(22x+1)−log22x+2=0 ， 则有 22x+1=2x+2 ，得 (2x)2−4(2x)+1=0 ， 令 2x=t(t>0) ，则 t2−4t+1=0 ， 解得 t1=2−3 ， t2=2+3 . 即 x1=log2(2−3) ， x2=log2(2+3) . ∴函数 g(x) 有两个零点，分别为 log2(2−3) 和 log2(2+3) .

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