题目

如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD． （Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小． 答案：证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE， 在正方形ABCD中，O为AC的中点，又因为E为PC的中点，所以OE为△PAC的中位线，所以OE∥AP，又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，所以AP∥平面BDE．（Ⅱ）由已知可得AD⊥PD，AD⊥CD，又因为PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，又因为AD⊂平面ABCD，所以平面PCD⊥平面ABCD．解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，又因为PD⊥CD，且AD∩CD=D，所以PD⊥平面ABCD，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），所以 AP→=(−2,0,2) ， AB→=(0,2,0) ，设平面APB的一个法向量为 m→=(a,b,c) ，所以 {m→⋅AP→=0m→⋅AB→=0 即 {2b=0−2a+2c=0 令a=1，则c=1，从而 m→=(1,0,1) ，同理可求得平面PBC的一个法向量为 n→=(0,1,1) ，设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，易知 θ∈(π2,π) ，所以 cosθ=−<m→,n→>=−m→⋅n→|m→|⋅|n→|=−12 ，所以 θ=2π3 ，所以二面角A﹣PB﹣C的大小为 2π3 ．

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