题目

如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC． （1） 求证：DC是∠ADB的平分线； （2） 四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3） 若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值． 答案： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°． ∵∠ADC=∠ABC=60°，∠BDC=∠BAC=60°， ∴∠ADC=∠BDC， ∴DC是∠ADB的平分线； 解：四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数， 理由如下： 如图1，将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC， ∴CD=CH，∠DAC=∠HBC． ∵四边形ACBD是圆内接四边形， ∴∠DAC+∠DBC=180°， ∴∠DBC+∠HBC=180°， ∴点D，点B，点H三点共线． ∵DC=CH，∠CDH=60°， ∴△DCH是等边三角形． ∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH =34 CD2， ∴S =34 x2； 解：如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F， ∵点D，点E关于直线AC对称， ∴EM=DM， 同理DN=NF． ∵△DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN， ∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值， 则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，∴△DMN的周长最小值为EF=t． ∵点D，点E关于直线AC对称， ∴CE=CD，∠ACE=∠ACD． ∵点D，点F关于直线BC对称， ∴CF=CD，∠DCB=∠FCB， ∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°． ∵CP⊥EF，CE=CF，∠ECF=120°， ∴EP=PF，∠CEP=30°， ∴PC =12 EC，PE =3 PC =32 EC， ∴EF=2PE =3 EC =3 CD=t， ∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值． ∵CD为⊙O的弦， ∴CD为直径时，CD有最大值4， ∴t的最大值为4 3 ．

查看本题答案和解析