题目

已知椭圆 的两个焦点为 ， ，离心率 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 设直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，当 变化时，求 面积的最大值. 答案： 解：由离心率 e=22 ，半焦距 c=1 ，解得 a=2 .所以 b=a2−c2=1 ，所以椭圆 E 的方程是 x22+y2=1 解：设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，据 {x22+y2=1，y=x+m 得 3x2+4mx+2m2−2=0∵直线 l 与椭圆 E 有两个不同的交点，∴ Δ=(4m)2−12(2m2−2)>0 ，又 m≠0 ，所以 −3<m<3 且 m≠0 .由根与系数的关系得 x1+x2=−4m3 ， x1x2=2m2−23设线段 AB 中点为 C ，点 C 横坐标 xC=x1+x22=−2m3 ， yC=xC+m=m3 ，∴ C(−2m3，m3) ，∴线段 AB 垂直平分线方程为 y−m3=−(x+2m3) ，∴点 T 坐标为 (−m3，0) ，点 T 到直线 AB 的距离 d=|23m|2 ，又 |AB|=2·(x1+x2)2−4x1x2=2324−8m2 ，所以 S△TAB=12×|23m|2×23·24−8m2=29−2(m2−32)2+92 ，所以当 m2=32 时，三角形 TAB 面积最大，且 (S△TAB)max=23

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