题目

在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， 的面积是56，且  ▲  ， 求 的周长． 答案：解：若选①， 因为 c(cosA+sinA)=b ，所以 sinC(cosA+sinA)=sinB ， 又 A+B+C=π ，所以 sinB=sin(A+C) ， 所以 sinCcosA+sinCsinA=sinAcosC+cosAsinC ， 即 sinCsinA=sinAcosC ． 因为 sinA≠0 ，所以 sinC=cosC ，即 tanC=1 ， 因为 0<C<π ，所以 C=π4 ． 因为 cosB=35 ，所以 sinB=45 ， 所以 sinA=sin(B+C)=45×22+35×22=7210 ， 所以 a：b：c=sinA：sinB：sinC=7：42：5 ， 不妨设 a=7t ， b=42t ， c=5t ， 则 △ABC 的面积为 12×7t×42t×22=56 ，解得 t=2 ， 从而 a=14 ， b=82 ， c=10 ． 故 △ABC 的周长为 a+b+c=14+82+10=24+82 ． 若选②， 因为 csinB+bcosC=2b ， 所以 sinCsinB+sinBcosC=2sinB ， 因为 0<B<π ，所以 sinB≠0 ，所以 sinC+cosC=2 ， 所以 2sin(C+π4)=2 ，即 sin(C+π4)=1 ． 因为 0<C<π ，所以 π4<C+π4<5π4 ，所以 C=π4 ． 以下步骤同①． 若选③， 因为 sinB+tanCcosB=2sinA ， 所以 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC ， 所以 sin(B+C)=2sinAcosC ． 因为 A+B+C=π ，所以 B+C=π−A ， 所以 sin(B+C)=sinA=2sinAcosC ． 因为 0<A<π ，所以 sinA≠0 ，所以 cosC=22 ． 因为 0<C<π ，所以 C=π4 ． 以下步骤同①．

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